Spektrális analízis (a lineáris algebra)
Nagy Szovjet Enciklopédia
Spektrumanalízisét lineáris operátorok szintézis alakult ki a mechanika elmélet sajátvektor és sajátérték a mátrix (m. E. Lineáris transzformációk dimenziós térben) dimenziós esetben (lásd. A lineáris operátor. Üzemeltetői elmélet). A vizsgált rendszer által a mozgás oszcilláció egy elmélet n szabadsági fokkal a közelben a pozíciók stabil egyensúlyi, amely által leírt egy lineáris differenciálegyenlet formájában. ahol x jelentése egy n-dimenziós vektor általánosított koordinátarendszer eltéréseket egyensúlyi értékeket, és A - egy szimmetrikus pozitív definit mátrix. Az ilyen mozgás képviselheti egy szuperpozíció harmonikus hullámforrást n (t n a normál rezgések ..) körkörös frekvenciák egyenlő a négyzetgyökei sajátértékei összes lehetséges l K mátrix megtalálása a normál rezgések a rendszer csökken megállapítás minden sajátérték l K; és x k sajátvektorait A. A mind az sajátértékei a mátrix nevezzük a spektruma. Ha az A mátrix - szimmetrikus, annak spektruma áll n valós számok l 1. ln (egy részük lehet egymással egybeesnek), és a mátrix maga az új koordinátarendszer diagonalizálható, azaz .. s megfelelő lineáris transzformáció n-dimenziós térben (.. n t önálló • adjoint transzformáció) megengedi speciális reprezentációja - T N .. A spektrális bomlása formájában
ahol E 1 E N - kiemelkedések egymásra merőleges irányban a sajátvektorok x 1 x n. Aszimmetrikus ugyanazon mátrix (amely megfelel a nem-önadjungált lineáris transzformáció) van, általában, a spektrumot, amely komplex számok l l 1. 1. és csak átalakítható sokkal bonyolultabb, mint átlós, Jordan formában [lásd. Normál (Jordan) mátrix formájában], amely megfelel a ábrázolása egy lineáris transzformáció Egy bonyolultabb, mint a hagyományos spektrális felbontása a fent leírt.
Amikor tanulmányozása oszcillációk mintegy rendszerek egyensúlyi állapot egy végtelen számú szabadsági fokkal (például homogén vagy inhomogén karakterlánc) a feladat megtalálni a sajátértékek és sajátvektorok egy lineáris transzformációt véges teret ki kell terjeszteni, hogy néhány osztályát lineáris transzformációk (m. E. lineáris operátorok) egy végtelen lineáris teret. Sok esetben (ideértve különösen, ha egy rezgő húr), amely megfelel az üzemeltető felírható formájában eljáró terében az f (x) integrál üzemeltető, ezért itt
ahol K (x, y) - van definiálva egy négyzet £ x, y £ b folytonos függvénye két változó megfelelhet szimmetria (x, y) = (y, x). Ezekben az esetekben az üzemeltető A mindig teljes rendszerét, egymásra merőleges eigenfunctions j k. amely megfelel a megszámlálható szekvenciájának valós sajátértékek l K. összetevők a maguk teljességében spektrumában A. Ha figyelembe vesszük azokat a funkciókat, amelyek az A üzemeltető működik vektorok egy Hilbert-tér, majd fellépés A jelentése, mint abban az esetben egy véges Önadjungált transzformációs nyújthatósága csökkentett rendszer helyet mentén kölcsönösen merőleges tengely mentén, együtthatók JK lk stretching (lk at <0 такое растяжение имеет смысл растяжения с коэффициентом |l k |. объединённого с зеркальным отражением), а сам оператор А здесь снова будет иметь спектральное разложение вида
ahol E k - kiemelkedések irányában j k.
═ S. a. eredetileg a szerves üzemeltetők szimmetrikus kernel K (x, y). specifikus és folyamatos egy körülhatárolt, ezután belül az általános elmélet a szolgáltatók terjeszteni számos más típusú lineáris operátorok (például, szerves üzemeltetők a kernel, amelynek jellemzője, vagy beállíthatjuk az határtalan régióban a differenciál operátorok tereiben függvények egy vagy több változó, és t . d.), valamint az elvont előre meghatározott lineáris operátorok végtelen lineáris terek. Azt találtuk azonban, hogy az ilyen eloszlás társul szignifikáns komplikáció S. a. mert sok lineáris operátorok sajátértékei és funkciók, meg kell érteni a szokásos értelemben, hogy nem létezik. Ezért általában az esetben, a spektrum kell meghatározni nem álló aggregátum sajátértékei A, hanem egy sor azok az értékek, amelyek a hatóanyag (A - l E) -1. ahol E - az azonosság (identity) üzemben nem létezik, vagy meghatározott csak sűrű halmaz, vagy egy korlátos operátor. Minden sajátértékei azok a spektrum és együtt képezik a diszkrét spektrum; a többi a spektrum gyakran nevezik folytonos spektrumú üzemeltető [más néven folyamatos spektrumát a több L, ahol a kezelő (A - l E) -1 meghatározni sűrű sor elemei a helyet, de korlátlan, és minden pont a spektrum, amely nem tartozik a diszkrét vagy egy folytonos spektrumú úgynevezett reziduális spektrum].
A legtöbb fejlett és S .. önadjungált lineáris operátorok a Hilbert-tér (általánosítva szimmetrikus mátrix) és egységes lineáris operátorok ugyanabban a térben (általánosítva egységes mátrixok). A önadjungált operátor egy Hilbert tér mindig tisztán valós spektrum (diszkrét, folytonos, vagy vegyes), és lehetővé teszi, hogy a spektrális bomlása formájában
ahol az E (l) - T N .. partíció egység (megfelelő A). t. e. a család vetítés szereplők. kielégítő speciális körülmények között. A pontok a spektrum ebben az esetben az a pont a növekedés az operátor funkció E (l); abban az esetben tisztán diszkrét spektrum azok szabálytalan E (l). ezért itt
═ és spektrális felbontása (*) csökkenti a bomlási
═ egységes szereplő Hilbert térben van egy spektrum található a kerülete | L | = 1, és lehetővé teszi, hogy a spektrális felbontása kapcsolódó (*) a formában, de a cseréje integráció - ¥ a ¥ integrációt is a kör. Azt vizsgálták egy speciális osztálya normális operátorok Hilbert-tér, képviseli hasonló ábrázolás (*) formában, de joga van az integrációs terjeszteni egy általánosabb ponthalmaz l komplex síkban képviselő tartományban A. Ami S. a. nem önadjungált és nem normális lineáris operátorok általánosítva tetszőleges, nem-szimmetrikus mátrix, ez lett volna a számos kutatás tárgya által J .. Birkhoff (USA), T. Carleman (Svédország), M. V. Keldysha, M. G. Kreyna (USSR), AB Szőkefalvi-Nagy (Magyarország), Dunford (USA) és még sokan mások. tudósok, de ennek ellenére a megfelelő elmélet még messze nem teljes véglegesség.
S. a. lineáris operátorok számos fontos alkalmazások klasszikus mechanika (különösen rezgések elmélete) elektrodinamika, kvantummechanika, elmélete sztochasztikus folyamatok, szerves és differenciálegyenletek, és mások. területei és a matematikai fizika.
Irod P. Courant és D. Hilbert, Methods matematikai fizika, Acad. vele. 3rd ed. t 1, Moszkva - Leningrád 1951 .; Ahiézer N. I. Glazman IM Az elmélet lineáris operátorok Hilbert-tér, 2nd ed. M. 1966, Plesner AI spektrális elmélet lineáris operátorok, M. 1965 Rice Sz. F. Nagy funkcionális analízisének Lectures, transz. Franciaországgal. Moszkva, 1954; Sz.-Nagy Foias C. harmonikus analízise szereplők Hilbert tér, transz. Franciaországgal. M. 1970. N. Dunford és JT Schwartz. T. Lineáris operátorok sávban. az angol. h 2-3, M. 1966-1974 .; Keldysh M. V. Lidskiy V. B. kérdések spektrális elmélete önálló konjugátum üzemeltetők a könyvben. Tr. 4. Minden Unió Matematikai Kongresszus, Vol. 1, L., 1963. 101-20.
Share az oldalon